Μαθηματικά - Μουσική : πορείες παράλληλες

"Ο Πρόκλος υποστήριζε πως όπου υπάρχουν τα Μαθηματικά εκεί υπάρχει ομορφιά, σήμερα μπορούμε να λέμε ότι όπου υπάρχει ομορφιά εκεί υπάρχουν Μαθηματικά". Morris Kline.



Ρυθμός - Αριθμός

Η πρώτη συνάντηση της Μουσικής με τα Μαθηματικά συντελείται μέσω της αίσθησης που έχουμε για τον χρόνο. Ο άνθρωπος διαθέτει την ικανότητα να εντοπίζει, να απομονώνει χρονικές στιγμές. Το διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο στιγμών συγκροτεί την έννοια της διάρκειας. Η κατάτμηση που υφίσταται ο χρόνος από τη ροή των γεγονότων δημιουργεί ένα πυκνό σύνολο από στιγμές. Κατά τον Bachelard η διάρκεια είναι ένας αριθμός, μονάδα του οποίου είναι η στιγμή(G.Bachelard 1997).

Αν θεωρήσουμε σαν αφετηρία τα παραπάνω μπορούμε να ανιχνεύσουμε όλες εκείνες τις ενδείξεις που έχουμε για το ότι ο Ρυθμός και ο Αριθμός έχουν κοινή καταγωγή. Τις ενδείξεις αυτές θα εντοπίσουμε τόσο στην Ιστορία όσο και στην Ψυχολογία.

Ο Ανθρωπολόγος G. Murdock(1986) αναφέρει πως υπάρχουν 72 στοιχεία που είναι κοινά σε όλους τους πολιτισμούς, μεταξύ δε αυτών είναι τα σύμβολα της αρίθμησης και η μουσική.

Θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε ότι ο άνθρωπος κατασκευάζει μουσική από τους προϊστορικούς ήδη χρόνους. Οι Garland και Kahn(1995) αναφέρουν πως θεωρείται πλέον γεγονός το ότι οι πρώτες μουσικές επιδόσεις του ανθρώπου προηγούνται της ομιλίας. Το αρχαιότερο εύρημα που έχει σχέση με τις μουσικές συνήθειες των ανθρώπων έχει ηλικία 35.000 χρόνων και είναι οστά από μαμούθ τα οποία, κατά τους αρχαιολόγους, χρησιμοποιήθηκαν για την παραγωγή ήχων προφανώς ρυθμικών. Ο ρυθμός, λοιπόν, είναι το πρώτο είδος μουσικής που χρησιμοποίησε ο άνθρωπος.

Στο χώρο των Μαθηματικών τώρα, η πρώτη Μαθηματική έννοια που είχε αρχίσει από νωρίς να κατασκευάζεται στο νου του ανθρώπου ήταν αυτή του αριθμού. Η άποψη αυτή διαθέτει ένα ισχυρότατο έρεισμα, το οποίο προέρχεται από τη μελέτη του τρόπου με τον οποίο το παιδί, από την προσχολική ήδη ηλικία, αναπτύσσει σταδιακά την έννοια του αριθμού. Σύγχρονοι ερευνητές όπως οι Gelman και Gallistei(1982) υποστηρίζουν ότι η πρώτη, η στοιχειώδης ικανότητα του παιδιού η οποία σχετίζεται με τα Μαθηματικά είναι αυτή της αρίθμησης. Το παιδί μέσω της έμφυτης ικανότητας κατάτμησης του χρόνου, δημιουργεί μία 1-1 αντιστοιχία των γεγονότων με τις χρονικές στιγμές, δηλαδή ουσιαστικά αριθμεί. Το ίδιο υποστηρίζει και ο D. Tall(1991) αναφέροντας ότι το παιδί κατ' αρχάς αριθμεί χωρίς την έννοια του αριθμού. Αυτό είναι φανερό από τα λάθη που κάνει το παιδί της μορφής: ένα, δύο, τέσσερα, επτά ... και τα οποία λάθη ερμηνεύονται από την υπόθεση ότι το παιδί στην αρχή χρησιμοποιεί απλά τα ονόματα των αριθμών, τα οποία θέτει σε μια 1-1 αντιστοιχία με τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες τα "απαγγέλλει". (Σημείωση: Ο Wilder(1986) υποστηρίζει ότι η αρίθμηση αποτελεί μία πολιτιστική αναγκαιότητα, ένα καθολικό στοιχείο πολιτισμού. Η μέτρηση φαίνεται να οδηγεί στην έννοια του αριθμού μέσω της χρήσης συμβόλων, τα οποία στην αρχή αναπαριστούσαν απλά και εποπτικά την πορεία της αρίθμησης | για το 1, || για το 2, ||| για το 3 και εδώ έχουμε μία ισχυρότατη ένδειξη της κοινής πορείας του ανθρώπου προς τις ιδέες του αριθμού και του ρυθμού). Συνοψίζοντας μπορούμε πλέον βάσιμα να υποστηρίξουμε ότι οι δύο πρωταρχικές, θεμελιώδεις έννοιες του ρυθμού και του αριθμού έχουν κοινή καταγωγή την οποία έλκουν από την κατάτμηση του χρόνου, μέσω της διαστημοποίησης της διάρκειας, και την 1-1 αντιστοιχία. 

Η Αρμονία

Η μουσική είναι, ίσως, το πρώτο ποιοτικό φαινόμενο το οποίο Μαθηματικοποιεί ο άνθρωπος. Η μουσική θα έπρεπε να εκφραστεί με μετρήσιμα μεγέθη και αυτό γίνεται σταδιακά και συναρτάται μόνιμα με το είδος και το επίπεδο της Μαθηματικής γνώσης κάθε εποχής. 

• Η Πυθαγόρεια άποψη.

Η πρώτη συστηματική αλλά συγχρόνως και καθοριστική προσπάθεια υπαγωγής του φαινομένου της μουσικής σε Μαθηματικές σχέσεις γίνεται από τον Πυθαγόρα.

Δύο βασικά ερωτήματα απασχολούν τους Πυθαγόρειους: α) Πότε δύο ήχοι (νότες) συνηχούν αρμονικά, β) Ποια είναι η βαθύτερη αιτία αυτής της αρμονικής συνήχησης. Ήδη είχε τεθεί ρητά το πρόβλημα της αρμονίας.

Στο πρώτο ερώτημα η απάντηση φαίνεται να προέρχεται μέσα από την παρατήρηση και το πείραμα, τις δύο βασικές δηλαδή επιστημονικές δραστηριότητες, οι οποίες οδηγούν στη διατύπωση του πρώτου νόμου στον οποίο υπακούει η αρμονία. "Όταν δύο χορδές έχουν μήκη ανάλογα με δύο από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, τότε συνηχούν αρμονικά". Έτσι κατασκευάζεται η περίφημη Πυθαγόρεια κλίμακα η οποία χρησιμοποιήθηκε για πολλούς αιώνες σαν φυσική κλίμακα μουσικής σύνθεσης.

Η εξήγηση αυτού του φαινομένου στηρίζεται, κατά τους Πυθαγόρειους, στις μεταφυσικές ιδιότητες που έχουν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4 (τετρακτύς) και εδώ θα πρέπει να υπογραμμιστεί το γεγονός ότι το βασικό υπολογιστικό εργαλείο της εποχής είναι οι ακέραιοι και τα κλάσματά τους (ρητοί), έτσι οι ερμηνείες των φαινομένων που μελετούσαν θα έπρεπε να δομηθούν μέσα στα πλαίσια της Αριθμοθεωρίας των ρητών. Η αρμονία επιβάλλεται, κατά κάποιον τρόπο, από τους λόγους που προέρχονται από την τετρακτό δηλαδή από τα 2/3, 3/4, 2/4, 1/2 κλπ.12

Το αξιοσημείωτο είναι ότι και οι Κινέζοι φιλόσοφοι της εποχής του Κομφούκιου θεωρούσαν τους μικρούς αριθμούς 1, 2, 3, 4 σαν την ουσία της τελειότητας(J.Jeans 1968). Ο Euler, το 1738 επιχειρεί μία νέα εξήγηση για την προέλευση της αρμονίας. Έχουμε, λέει ο Euler, έμφυτη την τάση να αισθανόμαστε ικανοποίηση όταν ανακαλύπτουμε κάποια κανονικότητα ή νόμο. Η απλούστερη, άρα και η ευκολότερα αντιληπτή, κανονικότητα είναι αυτή η οποία στηρίζεται στους λόγους των απλών αριθμών 1, 2, 3, 4(J.Jeans 1968).. Ο Euler ουσιαστικά συμφωνεί με την Πυθαγόρεια άποψη και την στηρίζει σε μία περισσότερο ρεαλιστική βάση.